Matematyka
mateuszkuz
2017-06-22 20:42:44
Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość liczby rzeczywistej [latex]k,[/latex] dla której nierówność [latex]a^2+b^2+c^2ge k(ab+bc+ac)[/latex] jest spełniona przez dowolne liczby rzeczywiste [latex]a,b,c[/latex].
Odpowiedź
salkowa
2017-06-23 02:14:46

Heurystyka. Niech [latex]k=1+epsilon[/latex] i [latex]a=b=c[/latex] wtedy [latex]3a^2 geq (1+epsilon)3a^2[/latex]. Co rzuca podejrzenie że maksymalne [latex]k=1[/latex].  Dowód (heurystyki) że teza dla [latex]k=1[/latex] przechodzi.  [latex]a^2+b^2+c^2 geq ab+bc+ac[/latex] Łatwo zwinąć to do równoważnej postaci   [latex]$frac{1}{2}left(a-b ight)^2+frac{1}{2}left(a-c ight)^2+frac{1}{2}left(b-c ight)^2geq0$[/latex] [latex] ext{CND}[/latex] Widać że równość tylko dla [latex]a=b=c[/latex] Można to zrobić też ciągami jedno-monotonicznymi albo średnimi A-G.  Większe [latex]k[/latex] niż [latex]1[/latex] nie przechodzą co wynika z początkowych rozważań.  [latex]k[/latex] minimalne to [latex]-2[/latex] wystarczy że jedna z liczb [latex]a,b,c[/latex] będzie ujemna wtedy można wyciągnąć takie podejrzenia.  Dowód że [latex]k=-2[/latex] przechodzi  [latex]$a^2+b^2+c^2geq-2left(ab+ac+bc ight)$[/latex] równoważnie można rozważyć funkcję kwadratową zmienne [latex]a[/latex] z parametrami [latex]b,c[/latex]  [latex]$f(a)_{b,c}=a^2+b^2+c^2+2left(ab+ac+bc ight)$[/latex] Ponieważ [latex]$forall_{b,c}Delta=0$[/latex] a współczynnik prze [latex]a^2[/latex] jest dodatni to zachodzi teza. Mniejszego [latex]k[/latex] nie dostaniemy bo kładąc [latex]k=-(2+epsilon)[/latex], [latex]Delta[/latex] może przyjąć wartości dodatnie wymagamy wtedy by liczby [latex]a,b,c[/latex] miały różne znaki.  Więc [latex]k_{max}=1[/latex] [latex]k_{min}=-2[/latex]. 

Dodaj swoją odpowiedź