Matematyka
pomocyzchemii
2017-06-23 22:33:54
Udowodnij, że suma i iloczyn dwóch liczb naturalnych są liczbami naturalnymi.
Odpowiedź
diabelek55
2017-06-24 03:00:55

Niech [latex]m,n,p,q in N_+[/latex] oraz [latex]frac{p}{q} otin N[/latex], wiec można założyć, że NWD(p,q) = 1 a) suma: Załóżmy, że suma liczb naturalnych nie jest liczbą naturalną: [latex]m+n = frac{p}{q}[/latex], wiec: [latex]q(m+n) = p[/latex] Od razu widać, że q0, (m+n)>0, kp musi byc dodatnie, zatem k>0 ) q*k*p = p qk = 1 Ale, z racji, że q,k∈N, to q=1,k=1, wiec: m+n = p, gdzie p∈N wiec m+n ∈N b) iloczyn Załóżmy, że iloczyn liczb naturalnych nie jest liczbą naturalną, więc: [latex]mn=frac{p}{q}[/latex] [latex]qmn=p[/latex] Postępując podobnie, zauważamy, że p ≥ q, bo mn≥1. Prawa strona podzielna przez p, lewa też musi być, więc albo q=kp, albo mn=kp, gdzie k nalezy do naturalnych. q≠kp, bo NWD(p,q)=1,wiec: mn=kp, a to by oznaczało, że: qkp=p qk=1, wiec q=k=1, co za tym idzie: m+n=p, gdzie p∈N, czyli: m+n∈N

Dodaj swoją odpowiedź