Matematyka
anDŻeliczka
2017-06-24 03:00:24
Proszę o pomoc w zadaniu;>
Odpowiedź
RóŻoWySmErFff
2017-06-24 04:31:04

Do policzenia jest  [latex]$dim ext{span}left{egin{bmatrix}3\3\1\-1\ end{bmatrix},egin{bmatrix}4\-2\2\2end{bmatrix},egin{bmatrix}4\7\1\-3 end{bmatrix} ight}$[/latex] Czyli po ludzku mówiąc wymiar przestrzeni liniowej/ powłoki jaka rozpięta jest na wektorach podanych w zadaniu.   Można zauważyć że jest to pytanie równoważne o rząd macierzy złożonej z tych wektorów. Ponieważ interesuje nas minimalna liczba niezależnych liniowo wektorów. Innymi słowy definicją wymiaru jest ilość elementów bazy a z definicji bazy wiemy że znajdują się tak tylko wektory liniowo niezależne.  Więc od razy można powiedzieć że  [latex]dim ext{span}left{egin{bmatrix}3\3\1\-1\ end{bmatrix},egin{bmatrix}4\-2\2\2end{bmatrix},egin{bmatrix}4\7\1\-3 end{bmatrix} ight} leq 3[/latex] No bo mamy [latex]3[/latex] wektory więc wymiaru przestrzeni większej niż [latex]3[/latex] nie uzyskamy.  A dokładnie  [latex]$dim ext{span}left{egin{bmatrix}3\3\1\-1\ end{bmatrix},egin{bmatrix}4\-2\2\2end{bmatrix},egin{bmatrix}4\7\1\-3 end{bmatrix} ight}= ext{rank}egin{bmatrix}3&4&4\3&-2&7\1&2&1\-1&2&-3 end{bmatrix}$[/latex] Sprowadzę to macierz do postaci schodkowej. Wtedy od razu widać ile wynosi rząd.  [latex]$ ext{rank}egin{bmatrix}3&4&4\3&-2&7\1&2&1\-1&2&-3 end{bmatrix}= ext{rank}egin{bmatrix}3&4&4\0&-18&9\0&0&0\0&0&0 end{bmatrix}=2$[/latex] Można zauważyć że każdy wyznacznik (minor) [latex]3[/latex] stopnia tej macierzy zeruje się a wystarczy wziąć pierwszy lepszy minor [latex]2[/latex] rzędu by zobaczyć że :  [latex]$dimegin{bmatrix}3 & 4 \3 & -2 end{bmatrix} eq0$[/latex] Więc  [latex]$dim ext{span}left{egin{bmatrix}3\3\1\-1\ end{bmatrix},egin{bmatrix}4\-2\2\2end{bmatrix},egin{bmatrix}4\7\1\-3 end{bmatrix} ight}=2$[/latex]

Dodaj swoją odpowiedź