Matematyka
Michalina92
2017-06-24 07:26:54
Oblicz sumę [latex]$sum_{k=1}^ninom{n}{k}prod_{l=0}^{k-1} frac{k-l}{n-l} $[/latex]
Odpowiedź
lexi123
2017-06-24 08:38:42

Odpowiedź w załączniku.

Konto usunięte
2017-06-24 08:39:57

To ja może dam rozwiązanie właściwie bardzo podobne do wcześniejszego, ale korzystające z odrobinę innych oznaczeń (często ułatwiających obliczenia) oraz z ogólniejszej definicji współczynnika dwumianowego, w którym n może być dowolną liczbą, nawet zespoloną. Nie wiem na ile to jest znane, więc na początek mały wstęp. k-tą potęgą ubywającą (albo dolną silnią) liczby [latex]z[/latex] nazywamy wyrażenie postaci: [latex]z^{underline{k}}=underbrace{zcdot(z-1)cdot(z-2)cdotldotscdot(z-k+1)}_{ ext{k czynnikow}}[/latex] Korzystając z tej definicji, możemy określić: [latex]n!=ncdot(n-1)cdot(n-2)cdotldotscdot1=n^{underline{n}}[/latex] oraz: [latex]$inom{n}{k}=dfrac{n!}{k!(n-k)!}=dfrac{ncdot(n-1)cdot(n-2)cdotldotscdot(n-k+1)}{k!}=dfrac{n^{underline{k}}}{k!}=dfrac{n^{underline{k}}}{k^{underline{k}}}[/latex] Właśnie to wyrażenie możemy przyjąć jako definicję współczynnika dwumianowego. Tyle wstępu, teraz można przejść do zadania. Na początek zauważmy, że iloczyn pod znakiem sumy składa się z k czynników (od 0 do k-1). Widać też, że w liczniku pierwszego czynnika będziemy mieli k, zaś kolejne będą o jeden mniejsze od poprzedniego. Podobnie dla mianowników, pierwszy to n a kolejne są o jeden mniejsze dla każdego kolejnego czynnika. Łącząc to z faktem, że czynników jest k nasz iloczyn możemy zapisać jako: [latex]$prodlimits_{l=0}^{k-1},dfrac{k-l}{n-l}=dfrac{k^{underline{k}}}{n^{underline{k}}} [/latex] Tak więc korzystając z powyższego oraz z podanej wcześniej definicji współczynnika dwumianowego, nasza suma przyjmie postać: [latex]$sumlimits_{k=1}^{n}inom{n}{k}prodlimits_{l=0}^{k-1},dfrac{k-l}{n-l}= sumlimits_{k=1}^{n}dfrac{n^{underline{k}}}{k^{underline{k}}}cdotdfrac{k^{underline{k}}}{n^{underline{k}}}=sumlimits_{k=1}^{n}1=oxed{n}[/latex]  

Dodaj swoją odpowiedź