Matematyka
mazia99
2017-06-24 11:26:04
Daje naj za dokładne rozwiązanie zadań, wiecie, żeby każdy zrozumiał z skąd co się wzięło ;) 1.W trójkącie ABC poprowadzono prostą równoległą do boku BC, która przecięła bok AB w punkcie E, a bok AC- w punkcie F. Pole trójkąta ABC jest równe 27, a jego obwód wynosi 27. Oblicz pole i obwód trójkąta AEF, jeżeli wiadomo, że IBCI=9 i IEFI=3. 2.W trójkącie prostokątnym ABC o kącie prostym przy wierzchołku A wpisano okrąg o środku w punkcie S. Wykaż, że I 3.Dany jest trapez równoramienny, w którym przekątna długości a tworzy z ramieniem o długości b kąt prosty. Wykaż, że wysokość tego trapezu można zapisać w postaci [latex]h= frac{ab}{ sqrt{ a^{2}+ b^{2} } } [/latex].
Odpowiedź
leeww1
2017-06-24 13:31:15

1. Trójkąty ABC i AEF są podobne (cecha podobieństwa kąt-kąt-kąt). Mają te same kąty. Bokowi BC odpowiada bok EF. Zatem skala podobieństwa wynosi: [latex]k=dfrac{|EF|}{|BC|}\\|BC|=9\\|EF|=3\\k=dfrac{3}{9}=dfrac{1}{3}\\Delta AEFsim Delta ABC; k= dfrac{1}{3}[/latex] L-obwód P-pole [latex]L_{Delta ABC}=27Rightarrow L_{Delta AEF}=27cdotdfrac{1}{3}=9[/latex] Z twierdzenia, że stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa mamy: [latex]k^2=dfrac{P_{Delta AEF}}{P_{Delta ABC}}\\dfrac{P_{Delta AEF}}{27}=left(dfrac{1}{3} ight)^2 |cdot27\\P_{Delta AEF}=dfrac{1}{9}cdot27\\P_{Delta AEF}=3[/latex] 3. Rysunek poglądowy w załączniku. Trójkąty ABC i AEC są podobne (cecha kąt-kąt-kąt). Z tw. Pitagorasa mamy: [latex]x^2=a^2+b^2Rightarrow x=sqrt{a^2+b^2}[/latex] Jako, że trójkąty są podobne, to odpowiadające sobie boki w tych trójkątach tworzą proporcję: [latex]dfrac{h}{a}=dfrac{b}{sqrt{a^2+b^2}} |cdot a eq0\\h=dfrac{ab}{sqrt{a^2+b^2}}[/latex] 2. Środek okręgu wpisanego w trójkąt wyznaczamy przez punkt przecięcia dwusiecznych kątów. Rysunek poglądowy w załączniku. Wiemy, że: [latex]|angle SBC|=dfrac{alpha}{2}\\|angle SCB|=dfrac{eta}{2}[/latex] Czyli mamy wykazać, że [latex]dfrac{alpha}{2}+dfrac{eta}{2}=45^oRightarrow dfrac{alpha+eta}{2}=45^o[/latex] Wiemy również, że [latex]alpha+eta=90^o[/latex] Czyli mamy: [latex]|angle SBC|+|angle SCB|=dfrac{alpha+eta}{2}=dfrac{90^o}{2}=45^o[/latex] Co należało wykazać.

Dodaj swoją odpowiedź