Matematyka
magdini333
2017-06-24 12:34:24
Proszę o rozwiązanie poniższych zadań 1. Dany jest układ nierówności postaci : [latex] left { {{ab extless c-10} atop {ac extless b-10}} ight. [/latex] gdzie [latex]a,b,c extgreater 0[/latex] Podaj oszacowania jakie muszą spełniać zmienne w tym układzie. 2. Niech a,b∈(4,∞).Pokaż , że wyrażenie postaci : [latex]ab-4(a+b)+16[/latex] przyjmuje tylko wartości dodatnie 3. Rozpatrzmy dwie liczby naturalne a i b. Każda z nich złożona jest z 2017 cyfr.Zbadaj, czy liczby 4a+5b oraz 2a+9b mogą posiadać 2017 cyfr. 4. Podać przykład liczb naturalnych , takich że : liczba ab+c jest podzielna przez 3 i niepodzielna przez 7 , natomiast liczba ac+b jest podzielna przez 7 i niepodzielna przez 3.
Odpowiedź
Konto usunięte
2017-06-24 16:20:54

1) a,b,c >0, [latex] left { {{ab extless c-10} atop {ac extless b-10}} ight. [/latex] Oczywiscie iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni, zatem zachodzi: ab>0 ac>0, wiec: [latex] left { {{0 extless c-10} atop {0 extless b-10}} ight. [/latex] W zwiazku z czym, b,c >10, a >0 Teraz dodajmy stronami te dwie pierwsze nierownosci, otrzymujemy: [latex]ab+ac extless c-10 + b-10[/latex] [latex]a(b+c) extless (b+c) - 20[/latex] b+c jest oczywiscie dodatnie, wiec: [latex]a extless 1 - frac{20}{b+c}[/latex] skoro b,c>10, zatem b+c>20, w zwiazku z czym: [latex]frac{20}{b+c} extless 1[/latex] Co daje nam oszacowanie: [latex]a extless 1[/latex] Zatem: 010 Zad2) Tutaj własciwie użytkownik Piok podał rozwiązanie w komentarzu: ab-4ab+16 = (a-4)(b-4) z czego widać od razu, że dla a,b>4 ten iloczyn będzie zawsze dodatni ( na mocy tego, że iloczyn liczb dodatnich, jest oczywiscie dodatni ). Ale czemu miałbym się nie pobawić, w koncu wakacje. Mamy wyrażenie: ab-4(a+b)+16. a,b to są nasze zmienne. Potraktujmy b, jako parametr o wartosci k, wówczas mamy: ak -4a - 4k + 16 a(k-4) +4(4-k) Zdefiniujmy: f(a) = a(k-4) + 4(4-k) Musimy po prostu policzyc, kiedy zachodzi: a(k-4) + 4(4-k) > 0 a(k-4) > -4(4-k) a(k-4) > -4(-1)(k-4) a(k-4) > 4(k-4) Teraz, rozpatrzymy dwa przypadki: 1) k>4, wówczas: (k-4) > 0, wiec dzielac obustronnie przez (k-4) znak zostaje niezmieniony: a>4 2) k<4, wówczas: (k-4) < 0, wiec dzielac obustronnie przez (k-4) znak zostaje zmieniony: a<4 Co pozwala nam zauważyć, że wyrazenie ab-4(a+b)+16 jest dodatnie jeżeli (a>4 ∧ b>4) ∨ (a<4 ∧ b<4) ckd. Zad3) Niech dane będą 2 liczby naturalne a i b. Zarówno a, jak i b, ma w swoim zapisie 2017 cyfr. Pomyslmy w ten sposob, liczby a i b mają swój pewien zakres. Niech m będzie pierwszą cyfrą ( liczac od lewej ) zapisu liczby a, analogicznie n liczby b. Wowczas zachodzą dwie nierównosci: 1≤n≤9 1≤m≤9 4a+5b, wówczas nasze pierwsze cyfry są postaci: 4≤4m≤36 5≤5n≤45 Przy liczbie 36,45 w powyzszych nierownosciach chodzi o to, ze liczba bedzie miala 2018 cyfr, gdzie 2017 od prawej to odpowiednio 6 lub 5, a 2018 od prawej to odpowiednio 3 lub 4 Widzimy, ze dla wyrazenia 4a+5b jest mozliwosc takiego dobrania n i m, aby 4a+5b tworzyło liczbe 2017 cyfrową. ( chociazby liczba a=b= (jeden i 2016 zer) Rozpatrzmy teraz wyrazenie 2a+9b 2≤2m≤18 9≤9n≤81 Teraz łatwo zauwazyc, ze 2m+9n ≥11, więc ta liczba będzie zawsze 2018 cyfrowa (2019 tez nie będzie bo 2m+9n ≤18+81 = 99 ) Zatem nie ma takich a i b. Zad4) Np a=21, b=7, c=3, mamy wtedy: ab+c = 147 + 3 = 150 = 3*50=3*5*5*2, co dzieli 3, a nie dzieli 7. ac+b = 63 + 7 = 70 = 7*2*5, co dzieli 7, a nie dzieli 3. Łatwo też pokazać, ze będzie to zachodzic, dla: [latex]a=3*7*k=21k , gdzie[ kin N_+ ][/latex] [latex]b=7l , gdzie [ lin N_+ wedge l eq 3n , gdzie nin N_+ ][/latex] [latex]c=3t , gdzie [ tin N_+ wedge t eq 7m , gdzie min N_+ ][/latex] Dowód: ab+c = 21k*7l + 3t = 3(49kl + t) Widzimy, że całosc jest podzielna przez 3, teraz tylko musimy wykazac, ze nawias nie jest podzielny przez 7. [latex]49kl + t equiv j (mod 7)[/latex], gdzie j≠0 (j jest resztą z dzielenia tego wyrażenia przez 7) [latex]49kl equiv j_1 (mod 7)[/latex] [latex]t equiv j_2 (mod 7)[/latex] oczywiscie: [latex]j_1 + j_2 = j[/latex] Widocznym tez jest, że [latex]j_1 = 0[/latex], poniewaz 49 dzieli sie przez 7, a z założenia, że t≠7m, mamy, że [latex]j_2 eq 0[/latex] W zwiazku z czym: [latex]j eq 0[/latex] co konczy dowód pierwszej czesci. ac+b = 21k*3t + 7l = 7(9kt + l) Oczywiscie dzieli się to przez 7 musimy jeszcze wykazac, ze nie dzieli się przez 3, mamy: [latex]9kt + l equiv u (mod 3)[/latex] Próbujemy wykazać, że u≠0 ponownie dajmy: [latex]u_1 + u_2 = u[/latex] [latex]9kt + equiv u_1 (mod 3)[/latex] [latex] l equiv u_2 (mod 3)[/latex] Zachodzi [latex]u_1 = 0[/latex] oraz na mocy l≠3n, mamy, że [latex]u_2 eq 0 [/latex] W zwiazku z czym: [latex]u eq 0[/latex] co było do wykazania w drugiej czesci. Wykazałem, że dla tak przyjetych a,b,c zachodzi ab+c podzielne przez 3 i niepodzielne przez 7, oraz ac+b podzielne przez 7 i niepodzielne przez 3.

Dodaj swoją odpowiedź