Matematyka
asia950
2017-06-24 20:46:24
oblicz zbiór wartosci 1 / sinx, dla xe < pi/4 , 5pi/6>
Odpowiedź
lolka9
2017-06-25 01:06:28

Rozważmy funkcję dana wzorem [latex]f(x)=dfrac{1}{sin x};[/latex] gdzie [latex]D_f=mathbb{R}ackslash {x in mathbb{R}:x=kpi; k-mbox{calkowite}}.[/latex] Zacieśnijmy dziedzinę rozważanej funkcji do przedziału [latex]left[dfrac{pi}{4}, dfrac{5pi}{6} ight]subset D_f.[/latex] Zauważmy, że: [latex]sinleft(dfrac{pi}{4} ight)=dfrac{sqrt{2}}{2}\ sinleft(dfrac{5pi}{6} ight)=sinleft(pi-dfrac{pi}{6} ight)=sinleft(dfrac{pi}{6} ight)=dfrac{1}{2}\ fleft(dfrac{pi}{4} ight)=dfrac{1}{sin(frac{pi}{4})}=dfrac{1}{frac{sqrt{2}}{2}}=dfrac{2}{sqrt{2}}=oxed{sqrt{2}}\ fleft(dfrac{5pi}{6} ight)=dfrac{1}{sin(frac{5pi}{6})}=dfrac{1}{frac{1}{2}}=oxed{2}[/latex] Znajdźmy najmniejszą wartość rozważanej funkcji w naszym przedziale. Można np. po prostu wywnioskować, że ułamek jest tym mniejszy im jego mianownik jest większy, zatem ułamek [latex]dfrac{1}{sin x}[/latex] jest najmniejszy, gdy [latex]sin x[/latex] jest największy a to z kolei ma miejsce, gdy [latex]sin x=1.[/latex] Wówczas [latex]x=dfrac{pi}{2} in left[dfrac{pi}{4}, dfrac{5pi}{6} ight].[/latex] Reasumując [latex]f_{min}left(dfrac{pi}{2} ight)=dfrac{1}{sin (frac{pi}{2})}=dfrac{1}{1}=oxed{1}[/latex] oraz [latex]f_{max}left(dfrac{5pi}{6} ight)=dfrac{1}{sin(frac{5pi}{6})}=dfrac{1}{frac{1}{2}}=oxed{2}.[/latex] Najmniejszą wartość funkcji [latex]f[/latex] w zadanym przedziale można wyliczyć także bardziej matematycznie stosując rachunek różniczkowy: Poniższe obliczenia są prawdziwe przy założeniu [latex]x in left[dfrac{pi}{4}, dfrac{5pi}{6} ight].[/latex] Wobec tego: [latex]f(x)=dfrac{1}{x} circ sin x\ left(dfrac{1}{x} ight)^{prime}=dfrac{-1}{x^2}\ (sin x)^{prime}=cos x\ f^{prime}(x)=dfrac{-1}{(sin x)^2}cdot cos x=dfrac{-cos x}{sin ^2x}\ f^{prime}(x)=0 Leftrightarrow cos x=0 Leftrightarrow x=dfrac{pi}{2}\ f^{prime}(x) extgreater 0 Leftrightarrow cos x extless 0 Leftrightarrow x in left(dfrac{pi}{2}, dfrac{5pi}{6} ight]\ f^{prime}(x) extless 0 Leftrightarrow cos x extgreater 0 Leftrightarrow x in left[dfrac{pi}{4} ,dfrac{pi}{2} ight)[/latex] Tak więc nasza funkcja osiąga w rozważanym przedziale minimum lokalne w punkcie [latex]x=dfrac{pi}{2}.[/latex] Co więcej, rozważana funkcja jest ciągła w całym przedziale [latex]left[dfrac{pi}{4}, dfrac{5pi}{6} ight][/latex]. Wobec tego możemy do niej zastosować twierdzenie Darboux (przyjmowania wartości pośrednich): Funkcja ciągła f w przedziale [latex][a, b][/latex] przyjmuje wszystkie wartości pośrednie pomiędzy wartością najmniejszą i największą tej funkcji w przedziale [latex][a, b].[/latex] Wnosimy zatem, że jej zbiorem wartości jest przedział [latex]oxed{[1, 2]}.[/latex]

Dodaj swoją odpowiedź