Matematyka
Konto usunięte
2017-06-25 13:51:24
Niech [latex]k[/latex] będzie sumą współczynników rozwinięcia dwumianu [latex](a+b) ^{2017} [/latex]. Czy suma [latex]1+3+5...+(k-1)[/latex] jest kwadratem liczby naturalnej ? Odpowiedź uzasadnij
Odpowiedź
volume
2017-06-25 19:15:47

Ogólny wzór wygląda tak  [latex]$(a+b)^n=sum_{k=0}^nleft(egin{array}{c}n\ kend{array} ight)a^{n-k}b^k$[/latex] w naszym przypadku [latex]n=2017[/latex] więc  [latex]$(a+b)^{2017}=sum_{k=0}^{2017}left(egin{array}{c}2017\ kend{array} ight)a^{2017-k}b^k$[/latex] Ale interesuje nas suma współczynników prze ab czyli wspomniane w treści zadania [latex]mathcal{K}[/latex]  [latex]$mathcal{K}=sum_{k=0}^{2017}left(egin{array}{c}2017\ kend{array} ight)=sum_{k=0}^{2017}left(egin{array}{c}2017\ kend{array} ight)1^{2017-k}1^k=2^{2017}$[/latex] Teraz policzmy ile to jest  [latex]$1+3+5+...+(mathcal{K}-1)=sum_{i=1}^{mathcal{K}}(2i-1)$[/latex] To jest suma ciągu arytmetycznego więc suma ta równa się  "(pierwszy + ostatni )/2 razy ilość wszystkich " Więc  [latex]$sum_{i=1}^{mathcal{K}}(2i-1)=frac{1+2mathcal{K}-1}{2}cdotmathcal{K}=mathcal{K}^2$[/latex] Więc suma ta równa się [latex]$mathcal{K}^2=left(2^{2017} ight)^2$[/latex]  A jej pierwiastek to oczywiście [latex]2^{2017}inmathbb{N}[/latex] Co kończy zadanie.  Tak naprawdę pokazałem więcej bo wystarczy zauważyć że nie zależnie od  [latex]$mathcal{K}inmathbb{N}$[/latex] zachodzi  [latex]$sum_{i=1}^mathcal{K}(2i-1)=mathcal{K}^2$[/latex]  Więc pierwiastek takiej sumy zawsze jest równy liczbie naturalnej a suma tych współczynników to chyba tylko żeby wystraszyć na początek.  

Dodaj swoją odpowiedź